PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI nivel A

Publicado en por luis lora

PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI

nivel A

CABRI - Torneos

1

Construir la siguiente figura donde ABCD es un cuadrado y ABEFGH es un hexágono regular.

2

En la figura anterior, construir la circunferencia que tiene centro A y pasa por B.

  1. ¿Cuáles de los puntos de la figura están sobre el borde de este círculo? Justificar la respuesta.
  2. Si suponemos que el lado AB mide 1 cm, ¿Cuál es la superficie de la zona en común entre el círculo y el hexágono? Justificar la respuesta.

3

En la figura del problema (a), trazar la recta HD y EC y llamar M al punto en que se cortan. ¿Cuánto mide el ángulo Ð DMC? Justificar la respuesta.

4

Construir un triángulo ABC de manera que el ángulo Ð ABC mida 105° y el ángulo Ð BCA mida 15°.

5

Construir un cuadrado ABCD y un cuadrado EFGH de manera que la superficie del segundo sea 5 veces la superficie del primero.

6

Construir la siguiente figura, donde ABC es un triángulo equilátero y DEFG y GHIJ son cuadrados y el ángulo FGH es recto.

7

Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, con Ð A = 90°. Construir un punto P en AB tal que la circunferencia de centro P, que pasa por A sea tangente a BC.

8

Sea ABC un triángulo, sea M el punto medio de AB y sea P el punto medio de CM. Sabiendo que CM = AB y que PA = 1 y PB = 2. Hallar la longitud de la altura desde C del triángulo ABC.

9

Sea ABC un triángulo cualquiera y sea M el punto medio de AB. Construir un triángulo isósceles DEF (DE = EF) que tenga igual área que ABC y de modo que la mediana de DEF correspondiente al lado DF sea igual a CM.

NOTA: la mediana de DEF correspondiente al lado DF es el segmento que une el punto medio de DF con el vértice E.

10

  1. Construir la siguiente figura donde ABCD, AEHI y BEFG son cuadrados del mismo tamaño.

  1. Hallar la medida del ángulo BDF.

11

Dada una circunferencia S, un punto A sobre S y un punto M en el interior de S, construir un triángulo ABC tal que los puntos B y C también pertenezcan a S y M sea el punto medio del lado BC.

12

En un triángulo ABC, D es el punto medio de AB y E es el punto medio de AC. Las rectas BE y CD se cortan en el punto F. Si el área del triángulo ADE es de 7 cm2, ¿cuánto vale la diferencia entre el área del triángulo BCF y el área del triángulo DEF?

13

Dado un segmento AB se trazan la circunferencia C1 de centro A que pasa por B; y la circunferencia C2 de diámetro AB. La mediatriz de AB corta a C2 en D. La recta paralela a AB por D corta a la circunferencia C1 en F y G.

  1. Calcular la medida del ángulo FAG.
  2. Calcular la medida del ángulo AFB.

14

Construir la siguiente figura donde ABC es equilátero, DEFGHI es un hexágono regular y D, F y H son los puntos medios de los lados de ABC.

15

En la figura anterior hallar la razón entre las áreas de ABC y de DEFGHI.

16

Construir un rectángulo ABCD sabiendo que 50/3 del área de ABCD es igual al área del cuadrado de lado igual al perímetro de ABCD.

17

Sean a y b dos rectas. Dados los ángulos marcados, hallar el ángulo que forman a y b.

¡ No vale medir !

18

Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 5. Sea P un punto interior al rectángulo de modo que CPD = 90° y CP = DP. Hallar la longitud de PA.

19

Sea ABCD un rectángulo. M y N son los puntos medios de AD y BC respectivamente. Sean P y Q en AB y MN respectivamente de modo que PQ // AD. Si el perímetro de APQM es 7 y el perímetro de ABCD 15, ¿cuál es el perímetro de PBQN?

20

Sea ABC con AB = AC. La bisectriz de ABC interseca a AC en D. La bisectriz de BDC interseca a BC en E. Sabiendo que DE = CD hallar los ángulos interiores de ABC.

21

Sea ABCD un rectángulo tal que AB = 2 y BC = 1. Sea M el punto medio de CD. Hallar la distancia de M a la recta AC.

22

Construir un hexágono ABCDEF con todos sus ángulos de 120° tal que AB CD = EF = 1 y BC = DE = FA = 2.

23

Dividir el hexágono del problema 4, en 4 piezas de modo que con ellas se puedan armar (sin agujeros ni superposiciones) dos triángulos equiláteros (no necesariamente iguales). Hallar los lados de los dos triángulos equiláteros formados.

24

Construir la siguiente figura donde ABCD es un cuadrado y DEBF es un rombo cuya área es igual a la mitad del área del cuadrado.

25

Sea ABCD un trapecio con AB // DC tal que AB = AC = AD y BCD = 105°. Hallar los ángulos internos de ABCD y construirlo.

26

Sea ABCD un cuadrilátero tal que ADC = 45°, DCB = 90°, DAB = ABC y CD = 1. Hallar los posibles valores de AD - BC.

27

ABC es un triángulo de perímetro 10 y de modo que la distancia de A a la recta BC es 3. Por A se traza una recta r paralela a BC. La bisectriz de B interseca a r en D y la bisectriz de C interseca a r en E. Hallar el área de BCDE.

28

Sea ABCD un trapecio isósceles con AB // DC y DA = AB = BC = 1 y DC = 2. Dividir la figura en 3 piezas de modo que se pueda armar con ellas, sin superposiciones ni agujeros, un triángulo equilátero. ¿Cuánto mide el lado del triángulo equilátero?

29

Construir una estrella regular de 6 puntas.

30

Sabiendo que los lados de la estrella miden 2, hallar el área de la misma.

31

Si se trazan los segmentos AF y GL, hallar la medida de los lados y de las diagonales del cuadrilátero AFGL.

32

Hallar la medida de los ángulos ACD y BAG.

33

Considerar un rectángulo ABCD y un punto P en su interior tal que PC = PD y CPD = 90°. Sabiendo que BC = PD hallar la medida del ángulo APB. Construir la figura.

34

Construir el siguiente rombo:

35

Dado un triángulo ABC, construir un triángulo cuya superficie sea 1/6 de la del triángulo ABC.

36

Dado un segmento AC y una recta R, encontrar un punto B perteneciente a la recta tal que el ángulo ABC mida 60°.

37

Construir la siguiente figura donde el triángulo es equilátero y las dos circunferencias tienen el mismo radio.

38

Decimos que un hexágono ABCDEF es cuasi-regular si todos sus ángulos son iguales y AB = BC = DE = EF y FA = CD = ½ AB

Dividir dos hexágonos regulares iguales en piezas, de modo tal que usando todas las piezas se puedan formar tres hexágonos cuasi regulares iguales.

39

A partir de un triángulo ABC rectángulo en A, se construyen los triángulos ABD (AD = DB y CD // AB), BCE (BE = EC y EA // BC) y CAF (CF = FA y FB // CA). Hallar la relación entre las áreas de ABC y DEF.

40

a) Probar que todo triángulo que cumple que cada ángulo es el promedio de los restantes ángulos es un triángulo equilátero. Justificar.

b) ¿Es cierto que todo cuadrilátero que cumple que cada ángulo es el promedio de los restantes ángulos es un cuadrado? Justificar.

41

Construir la siguiente figura donde ABC es equilátero y ADE, BFG y CHI son triángulos equiláteros de centros C, A y B respectivamente.

42

Para la figura del problema anterior, hallar el área de DEFGHI si el área de ABC es 303.

43

Dividir un cuadrado en piezas de manera que reacomodando todas esas piezas se pueda formar ocho cuadrados iguales.

44

Dado un paralelogramo ABCD, se construye la circunferencia C circunscripta a ABC de centro O y la circunferencia C’ circunscripta a ACD de centro O’. Probar que OAOC es un rombo. Justificar.

45

Construir la siguiente figura, donde AB = BC = CD. Además los triángulos BB’B’’ y CC’C’’ son equiláteros de centros D y A respectivamente.

figura

46

Hallar la razón entre las medidas de los segmentos BC y B’C’’. Justificar.

47

¿Si el área de BB’B’’ es 27, cuál es el área de B’B’’C’C’’? Justificar.

48

Construir un cuadrilátero ABCD tal que CD = DA y sus ángulos ABC, BCD, CDA y DAB midan 30°, 90°, 120° y 120° respectivamente

49

En el problema anterior, probar que AB mide el triple que CD.

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