PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI nivel C

Publicado en por luis lora

PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI

nivel C
CABRI - Torneos

1

Construir la siguiente figura, donde los triángulos ABC y DEF son equiláteros; las cuatro circunferencias tienen igual radio y cada lado del triángulo DEF es tangente a dos de ellas.

2

Hallar la razón entre las áreas de los triángulos ABC y DEF.

3

Dado un triángulo ABC, construir un triángulo equilátero DEF, de manera que ambos triángulos tengan igual perímetro.

4

Dado un cuadrilátero convexo ABCD tal que el área de ABC es mayor que el área de ACD, trazar una recta que pase por A y que lo divida en dos partes de igual área.

5

En un triángulo ABC, el ángulo Ð CAB mide 60°. P es un punto en el interior del mismo y las rectas BP y CP cortan a AC y AB en D y E respectivamente. Si el ángulo Ð BPC mide 120° y PD = PE. Probar que la recta CE es la bisectriz del ángulo Ð ACB.

6

Dado el cuadrilátero convexo ABCD, sean M y N los puntos medios de AC y BD respectivamente. Sean O, P, Q y R los puntos medios de NA, MB, NC y MD respectivamente.

  1. ¿Qué tipo de cuadrilátero es OPQR?
  2. Hallar la razón entre las áreas de ABCD y OPQR.

7

Sea K una circunferencia y sean A, B y C puntos sobre ella. Sea r la bisectriz de <BAC, s la perpendicular a r que pasa por B y t la perpendicular a r que pasa por C. Sea P la intersección entre r y s. Sea Q la intersección entre r y t. Sea O el punto medio de PQ. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve por K.

8

Sea ABC un triángulo acutángulo y sean D y E los pies de las alturas desde A y B respectivamente. Sabiendo que DE = 3 y AB = 5 hallar la suma de las áreas de los triángulos DEA y DEB.

9

Construir el triángulo ABC sabiendo que Ð A = 60° y que el perímetro del triángulo es igual a 4 veces la altura desde A.

10

Dado un triángulo ABC, trazar rectas r, p y q (distintas a los lados AB, BC y AC) que pasen por A, B y C respectivamente de modo que el área del triángulo ABC sea 8 veces el área del triángulo formado por las rectas r, p y q.

11

Sea C una circunferencia y sean A y B puntos sobre C. Hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que, si D y E son los puntos de intersección de C con las bisectrices de PAB y PBA, entonces D, E y P están alineados.

12

Sea ABCDEF un hexágono que tiene las siguientes propiedades:

  • La suma de los ángulos A, C y E es 360°.
  • Los lados opuestos del hexágono son iguales.

Demostrar que las áreas de ACE y BDF son iguales.

13

Sea ABCD un trapecio (con AB // CD) tal que existe un punto interior P que cumple con las siguientes condiciones:

  • BPC = 60°
  • PC . AB = PB . CD
  • PC = PD

Hallar la medida del ángulo PÂB.

14

Sea ABC un triángulo rectángulo en B tal que AB = BC = 1. Sea D el simétrico de A con respecto a B, E el simétrico de B con respecto a C y F el simétrico de C con respecto a A. Hallar la distancia de F a la recta DE.

15

En una circunferencia de centro P, AB es un diámetro y AC es otra cuerda cualquiera. Una secante que pasa por P y es paralela a AC interseca en D a la tangente en C. Demuestre que DB es tangente a la circunferencia.

16

Dado un triángulo ABC cualquiera encontrar los puntos D y E en AC y AB respectivamente tal que si F es la intersección de BD y CF entonces: área(EFB= área(BCF) = 2 área(CDF)

17

Sea ABCD un cuadrado de lado 5. Sea P un punto en su interior tal que PA = 3 y PB = 4. Hallar las longitudes de PC y de PD.

18

Construir un triángulo ABC tal que BAC = 30° y de modo que si M es el punto medio de BC entonces BC = AM.

19

Sea ABC un triángulo tal que si M es el punto medio de AB entonces 2CM = AC y de modo que MCB = 2ABC. Hallar los ángulos de ABC.

20

Se tiene una circunferencia C y un punto P en su exterior. Sea T en C tal que PT es tangente a la circunferencia. Sea Q un punto en C. La recta PQ interseca a C en Q y R. La bisectriz del ángulo QTR interseca a RQ en A. Hallar el lugar geométrico de A al moverse Q sobre C.

21

Son dadas dos rectas no perpendiculares, que se cortan en un punto y un segmento.

Construir un triángulo rectángulo tal que la suma de los catetos del triángulo sea igual al segmento dado y uno de los ángulos del triángulo sea igual al ángulo agudo que forman las dos rectas.

22

Dado un triángulo ABC acutángulo cualquiera, construir un rectángulo PQRS tal que P y Q estén en el lado AB, R esté en el lado BC, S esté en el lado AC, tal que la longitud de la diagonal sea mínima.

23

a) Dada una circunferencia K y dos puntos A y B de modo que la recta AB no corte a la circunferencia, construir el punto C sobre K de modo que el área de ABC sea mínima.

b) Sea D sobre K de modo que el área de ABD sea máxima. Hallar la diferencia entre las áreas de ABD y ABC en función de AB y del radio de K.

24

Dadas dos semirrectas r y t de origen O y un punto P en el interior del ángulo formado por ellas, construir un triángulo OTR con R en r y T en t de modo que la recta OP pase por el punto medio de RT y tal que PR sea bisectriz de ORT.

25

Sea ABC un triángulo acutángulo. Sea H el pie de la altura desde B, M el punto medio de AC y sean D y E las intersecciones entre la bisectriz de B y las perpendiculares a la misma por A y C respectivamente. Demostrar que DMEH es un cuadrilátero cíclico

26

Sea K una circunferencia, sea P un punto en su interior y sea A sobre K. La recta que pasa por P y A interseca nuevamente a K en el punto B. Las tangentes a K por A y B se cortan en O. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve sobre K.

27

Sea ABC un triángulo y sea I el incentro. Demostrar que si AB + IC = AC + BI entonces AB = AC.

ACLARACIÓN: El incentro de un triángulo es la intersección de las bisectrices de sus ángulos interiores.

28

Construir la siguiente figura, donde cada circunferencia es tangente a las otras 3 y tal que C2 y C3 pasan por el centro de C1. Hallar la razón entre el radio de C1 y el de C4.

29

Sea ABCD un rectángulo con AB = 1 y BC = 2. Sean M y N los puntos medios de BC y AD respectivamente. Las circunferencias circunscritas a BMD y a ACN se cortan en P y Q. Hallar PQ.

30

Sea ABC un triángulo. La bisectriz exterior de B interseca a la prolongación de la altura desde A en P. Sabiendo que BPA = BAC hallar la medida de ABC.

31

Considerar un triángulo ABC con BC = 5 y P un punto en su interior tal que PA = 4. Sabiendo que el área del cuadrilátero ABPC es 5, hallar el ángulo que forma la recta AP con la recta BC.

32

Sea ABCD un cuadrado y sea P en su exterior de modo que APB = 45° y tal que P esté en un semiplano distinto que A con respecto a la recta CD.

  1. Hallar la medida del ángulo CPD.
  2. Si el lado del cuadrado mide 1, hallar la suma de los cuadrados de las distancias de P a los vértices de ABCD.

33

Dado un triángulo ABC y un punto P en su interior, se trazan las rectas perpendiculares por P a los lados AB, BC y CA del triángulo. Estas rectas intesectan a los lados del triángulo en ciertos puntos. Probar que no importa donde está P, nunca habrá exactamente dos de dichos puntos en cada lado.

34

Dado un triángulo ABC, se construyen los triángulos equiláteros ADE (en sentido horario), de centro B, y AFG (también en sentido horario), de centro C. Sea P el punto medio de DG y M el punto medio de EF. Probar que la longitud de PM no varía al mover A.

35

Sea O el punto medio de un segmento AB, P un punto (distinto de O) en AB. Sea M el punto medio de AP y N el punto medio de PB. Se trazan las circunferencias de centro A que pasa por N y de centro B que pasa por M. Hallar la relación entre las áreas de los triángulos OCD y PCD (siendo C y D las intersecciones entre dichas circunferencias.)

36

Dados tres puntos D, E y F, construir un triángulo ABC tal que los puntos D, E y F sean las intersecciones entre la bisectriz de A y la mediatriz de BC; la bisectriz de B y la mediatriz de CA; la bisectriz de C y la mediatriz de AB respectivamente.

37

Dado un triángulo ABC de circuncentro O, se traza el triángulo DEF formado por los circuncentros de los triángulos OBC, OCA y OAB respectivamente. Análogamente se traza el GHI formado por los circuncentros de los triángulos OEF, OFD y ODE respectivamente. Probar que ABC es semejante a GHI.

38

¿Cómo debe ser ABCD para que IJKL sea un cuadrado?

39

Sea ABC un triángulo y sea D un punto en AC. Se traza C1, la circunferencia de centro A que pasa por D y corta a AB en E. Se traza C2 circunferencia de centro B que pasa por E y corta a BC en F. Se traza C3, la circunferencia de centro C que pasa por F y corta a CA en G. Hallar el lugar geométrico del punto medio de DG al variar D sobre AC.

40

Construir la siguiente figura, donde ABCDEF es un hexágono regular de centro O y AIOH, DGOJ son cuadrados:

  1. Probar que FIJE y HBCG son rectángulos.

  2. Construir un cuadrado de centro O tal que el área del mismo sea la diferencia entre las áreas de AIOH y BCGH. Sugerencia: Trazar las circunferecias circunscritas a BCGH y EFIJ.

Dado un paralelogramo ABCD y un punto P en su interior se trazan los simétricos de P con respecto a AB, BC, CD y DA formándose un cuadrilátero EFGH. Probar que dicho cuadrilátero tiene área fija sin importar la ubicación de P.

41

Sea AB un segmento y P un punto cualquiera. Se construyen los cuadrados MNOP y PQRS de centros A y B respectivamente (QM no corta a AB). Hallar el lugar geométrico de los puntos medios de QM y OS al moverse P por todo el plano.

42

Sea ABCD un cuadrilátero inscripto en una circunferencia. Probar que los incentros de ABC, BCD, CDA y DAB forman un rectángulo.

43

Dado un paralelogramo ABCD y un punto P en su interior se trazan los simétricos de P con respecto a AB, BC, CD y DA formándose un cuadrilátero EFGH. Probar que dicho cuadrilátero tiene área fija sin importar la ubicación de P.

44

Construir la siguiente figura formada por un dodecágono regular con dos cuadrados y un octógono regular en su interior, siendo W el centro del dodecágono.

figura

45

En las condiciones del problema anterior, probar que ARM, ENO y PIQ son triángulos equiláteros.

46

Dado un rectángulo ABCD de centro O, sea P un punto en CD. Se trazan las rectas perpendiculares por O a AP y BP cuyas intersecciones con las rectas BC y DA forman un cuadrilátero EFGH. ¿Qué tipo de cuadrilátero es EFGH? Justificar.

47

Construir un rectángulo ABCD tal que si P es el punto medio de CD, el cuadrilátero EFGH construido como en el punto anterior es un cuadrado.

48

A partir de un triángulo ABC, se construyen los puntos: D como intersección de las rectas perpendiculares a AB por B y AC por C; E como intersección de las rectas perpendiculares a BC por C y BA por A; F como intersección de las rectas perpendiculares a CA por A y CB por B. Probar que el triángulo DEF es semejante al ABC. ¿Cuál es su razón de semejanza?

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