PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI nivel C
| PROBLEMAS DE TORNEOS CABRI 1 Construir la siguiente figura, donde los triángulos ABC y DEF son equiláteros; las cuatro circunferencias tienen igual radio y cada lado del triángulo DEF es tangente a dos de ellas. 2 Hallar la razón entre las áreas de los triángulos ABC y DEF. 3 Dado un triángulo ABC, construir un triángulo equilátero DEF, de manera que ambos triángulos tengan igual perímetro. 4 Dado un cuadrilátero convexo ABCD tal que el área de ABC es mayor que el área de ACD, trazar una recta que pase por A y que lo divida en dos partes de igual área. 5 En un triángulo ABC, el ángulo Ð CAB mide 60°. P es un punto en el interior del mismo y las rectas BP y CP cortan a AC y AB en D y E respectivamente. Si el ángulo Ð BPC mide 120° y PD = PE. Probar que la recta CE es la bisectriz del ángulo Ð ACB. 6 Dado el cuadrilátero convexo ABCD, sean M y N los puntos medios de AC y BD respectivamente. Sean O, P, Q y R los puntos medios de NA, MB, NC y MD respectivamente.
7 Sea K una circunferencia y sean A, B y C puntos sobre ella. Sea r la bisectriz de <BAC, s la perpendicular a r que pasa por B y t la perpendicular a r que pasa por C. Sea P la intersección entre r y s. Sea Q la intersección entre r y t. Sea O el punto medio de PQ. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve por K. 8 Sea ABC un triángulo acutángulo y sean D y E los pies de las alturas desde A y B respectivamente. Sabiendo que DE = 3 y AB = 5 hallar la suma de las áreas de los triángulos DEA y DEB. 9 Construir el triángulo ABC sabiendo que Ð A = 60° y que el perímetro del triángulo es igual a 4 veces la altura desde A. 10 Dado un triángulo ABC, trazar rectas r, p y q (distintas a los lados AB, BC y AC) que pasen por A, B y C respectivamente de modo que el área del triángulo ABC sea 8 veces el área del triángulo formado por las rectas r, p y q. 11 Sea C una circunferencia y sean A y B puntos sobre C. Hallar el lugar geométrico de los puntos P tales que, si D y E son los puntos de intersección de C con las bisectrices de PAB y PBA, entonces D, E y P están alineados. 12 Sea ABCDEF un hexágono que tiene las siguientes propiedades:
Demostrar que las áreas de ACE y BDF son iguales. 13 Sea ABCD un trapecio (con AB // CD) tal que existe un punto interior P que cumple con las siguientes condiciones:
Hallar la medida del ángulo PÂB. 14 Sea ABC un triángulo rectángulo en B tal que AB = BC = 1. Sea D el simétrico de A con respecto a B, E el simétrico de B con respecto a C y F el simétrico de C con respecto a A. Hallar la distancia de F a la recta DE. 15 En una circunferencia de centro P, AB es un diámetro y AC es otra cuerda cualquiera. Una secante que pasa por P y es paralela a AC interseca en D a la tangente en C. Demuestre que DB es tangente a la circunferencia. 16 Dado un triángulo ABC cualquiera encontrar los puntos D y E en AC y AB respectivamente tal que si F es la intersección de BD y CF entonces: área(EFB) = área(BCF) = 2 área(CDF) 17 Sea ABCD un cuadrado de lado 5. Sea P un punto en su interior tal que PA = 3 y PB = 4. Hallar las longitudes de PC y de PD. 18 Construir un triángulo ABC tal que BAC = 30° y de modo que si M es el punto medio de BC entonces BC = AM. 19 Sea ABC un triángulo tal que si M es el punto medio de AB entonces 2CM = AC y de modo que MCB = 2ABC. Hallar los ángulos de ABC. 20 Se tiene una circunferencia C y un punto P en su exterior. Sea T en C tal que PT es tangente a la circunferencia. Sea Q un punto en C. La recta PQ interseca a C en Q y R. La bisectriz del ángulo QTR interseca a RQ en A. Hallar el lugar geométrico de A al moverse Q sobre C. 21 Son dadas dos rectas no perpendiculares, que se cortan en un punto y un segmento. Construir un triángulo rectángulo tal que la suma de los catetos del triángulo sea igual al segmento dado y uno de los ángulos del triángulo sea igual al ángulo agudo que forman las dos rectas. 22 Dado un triángulo ABC acutángulo cualquiera, construir un rectángulo PQRS tal que P y Q estén en el lado AB, R esté en el lado BC, S esté en el lado AC, tal que la longitud de la diagonal sea mínima. 23 a) Dada una circunferencia K y dos puntos A y B de modo que la recta AB no corte a la circunferencia, construir el punto C sobre K de modo que el área de ABC sea mínima. b) Sea D sobre K de modo que el área de ABD sea máxima. Hallar la diferencia entre las áreas de ABD y ABC en función de AB y del radio de K. 24 Dadas dos semirrectas r y t de origen O y un punto P en el interior del ángulo formado por ellas, construir un triángulo OTR con R en r y T en t de modo que la recta OP pase por el punto medio de RT y tal que PR sea bisectriz de ORT. 25 Sea ABC un triángulo acutángulo. Sea H el pie de la altura desde B, M el punto medio de AC y sean D y E las intersecciones entre la bisectriz de B y las perpendiculares a la misma por A y C respectivamente. Demostrar que DMEH es un cuadrilátero cíclico 26 Sea K una circunferencia, sea P un punto en su interior y sea A sobre K. La recta que pasa por P y A interseca nuevamente a K en el punto B. Las tangentes a K por A y B se cortan en O. Hallar el lugar geométrico de O a medida que A se mueve sobre K. 27 Sea ABC un triángulo y sea I el incentro. Demostrar que si AB + IC = AC + BI entonces AB = AC. ACLARACIÓN: El incentro de un triángulo es la intersección de las bisectrices de sus ángulos interiores. 28 Construir la siguiente figura, donde cada circunferencia es tangente a las otras 3 y tal que C2 y C3 pasan por el centro de C1. Hallar la razón entre el radio de C1 y el de C4. 29 Sea ABCD un rectángulo con AB = 1 y BC = 2. Sean M y N los puntos medios de BC y AD respectivamente. Las circunferencias circunscritas a BMD y a ACN se cortan en P y Q. Hallar PQ. 30 Sea ABC un triángulo. La bisectriz exterior de B interseca a la prolongación de la altura desde A en P. Sabiendo que BPA = BAC hallar la medida de ABC. 31 Considerar un triángulo ABC con BC = 5 y P un punto en su interior tal que PA = 4. Sabiendo que el área del cuadrilátero ABPC es 5, hallar el ángulo que forma la recta AP con la recta BC. 32 Sea ABCD un cuadrado y sea P en su exterior de modo que APB = 45° y tal que P esté en un semiplano distinto que A con respecto a la recta CD.
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